cache missing

# 事件的概率

# 古典概率计算

# 排列组合

nn个不同的物件取rr个1≤r≤n1\le r\le n的不同排列总数为

Prn=n(n−1)(n−2)⋯(n−r+1) P_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)

nn个不同的物件取rr个1≤r≤n1\le r\le n的不同组合总数为

Crn=Prnr!=n!r!(n−r)! C_r^n = \frac{P_r^n}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

每一个包含rr件物品的组合，都可以产生r!r!个不同的排列，故排列数应为组合数的r!r!倍

CrnC_r^n可记作(nr)\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}

按0!=10!=1 的约定，(n0)=1\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} = 1

(nr)=n(n−1)⋯(n−r+1)r! \begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix} = \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}

组合系数(nr)\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}又称为二项式系数

(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i (a+b)^n = \sum_{i=0}^{n}\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix}a^ib^{n-i}
证明
(a+b)n=(a+b)⋅(a+b)⋯(a+b) (a+b)^n = (a+b) \cdot (a+b) \cdots(a+b)

为了产生aibn−ia^ib^{n-i}这一项，在这nn个(a+b)(a+b)中，要从其中ii个取出aa，从另外n−in-i个取出b。所以(ni)\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} 是aibn−ia^ib^{n-i}这一项的系数

当 a=b=1a = b = 1 ,得

(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \cdots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 2^n

当 a=−1,b=1a = -1, b = 1 ,得

(n0)−(n1)+(n2)−⋯+(−1)n(nn)=0 \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} - \cdots + (-1)^n \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} = 0

另外一个有用的公式

(m+nk)=∑i=0k(mi)(nk−i) \begin{pmatrix} m + n \\ k \end{pmatrix} = \sum_{i=0}^{k} \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k - i \end{pmatrix}
证明
(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)nxk的系数为(m+nk)可以从(1+x)m中选取i项，从(1+x)n中选取k−i项即(m+nk)=∑i=0k(mi)(nk−i) \begin{align} & (1+x)^{m+n} = (1+x)^m(1+x)^n \\\\ & x^k 的系数 为 \begin{pmatrix} m + n \\ k \end{pmatrix} \\\\ & 可以从(1+x)^m中选取i项，从(1+x)^n中选取 k - i 项 \\\\ & 即 \\\\ & \begin{pmatrix} m + n \\ k \end{pmatrix} = \sum_{i=0}^{k} \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k - i \end{pmatrix} \end{align}

nn个不同的物件分成kk堆，各堆物件数分别为r1,⋯,rkr_1,\cdots,r_k的分法是

n!r1!⋯rk! \frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}
证明
已知∑i=1kri=n先从n个中取出r1个作为第一堆，取法有(nr1)，在余下的n−r1中取出r2作为第二堆，取法有(n−r1r2)以此类推，得到全部不同的分法为n!r1!(n−r1)!(n−r1)!r2!(n−r1−r2)!⋯(n−r1−r2−⋯−rk−1)!rk!(n−r1−r2−⋯−rk)!=n!r1!r2!⋯rk!(n−r1−r2−⋯−rk)!=n!r1!r2!⋯rk!(0)!=n!r1!r2!⋯rk! \begin{align} & 已知 \sum_{i=1}^{k} r_i = n \\\\ & 先从n个中取出r_1个作为第一堆，取法有 \begin{pmatrix} n \\ r_1 \end{pmatrix} ， 在余下的 n - r_1 中取出 r_2 作为第二堆 ，取法有 \begin{pmatrix} n - r_1 \\ r_2 \end{pmatrix} \\\\ & 以此类推，得到全部不同的分法为 \\\\ & \frac{n!}{r_1!(n-r_1)!} \frac{(n-r_1)!}{r_2!(n-r_1-r_2)!}\cdots\frac{(n-r_1-r_2-\cdots-r_{k-1})!}{r_k!(n- r_1 -r_2 -\cdots - r_k)!} \\\\ & = \frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!(n- r_1 -r_2 -\cdots - r_k)!} \\\\ & = \frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!(0)!} \\\\ & = \frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!} \\\\ \end{align}

# 事件的运算、条件概率与独立性

# 条件概率

在B发生的条件下A的条件概率
P(A∣B)=P(AB)/P(B)(P(B)≠0)P(A|B) = P(AB)/P(B) \qquad{(P(B)\ne 0)}

# 事件的独立性

若P(A∣B)>P(A)P(A|B)>P(A),则BB的发生使得AA的发生的可能性增大:BB促进了AA的发生

若P(A)=P(A∣B)P(A)=P(A|B),则B的发生与否与A发生的可能性无关,这时在概率论上称A,BA,B两事件独立 P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)

# 全概率公式与贝叶斯公式

# 全概率公式

设B1,B2,⋯B_1,B_2,\cdots为有限个或无限个事件,他们两两互斥且每次试验中至少发生一个,即

BiBj=∅(不可能事件),当i≠jB1+B2+⋯=Ω(必然事件) B_iB_j = \emptyset(不可能事件),当i\ne j \\ B_1 + B_2 + \cdots = \Omega(必然事件)

考虑任一事件AA,因为Ω\Omega是必然事件,所以有A=AΩ=AB1+AB2+⋯A = A\Omega = AB_1 + AB_2 + \cdots,因为B1,B2,⋯B_1,B_2,\cdots两两互斥,所以AB1,AB2,⋯AB_1,AB_2,\cdots也两两互斥

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+⋯ P(A) = P(AB_1) + P(AB_2) + \cdots

代入条件概率公式P(A∣B)=P(AB)/P(B)P(A|B) = P(AB)/P(B)

P(ABi)=P(Bi)P(A∣Bi)P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+⋯(全概率公式) P(AB_i) = P(B_i)P(A|B_i) \\ P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots \qquad(全概率公式)

"全部"概率P(A)P(A)被分解成许多部分之和,其理论和实用意义在于:在较复杂的情况下直接计算P(A)P(A)不容易,但AA总是伴随着某个BiB_i出现,适当去构造这一组BiB_i往往可以简化计算

# 贝叶斯公式

在全概率公式的假定下,有

P(B∣A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A∣Bi)/∑jP(Bj)P(A∣Bj) P(B|A) = P(AB_i)/P(A) \\ = P(B_i)P(A|B_i) / \sum_jP(B_j)P(A|B_j)

全概率公式"由原因推结果",贝叶斯公式"由结果推原因"

← 随机变量及概率分布 →