三维空间刚体运动

旋转矩阵

点和向量，坐标系

$\bold{a} = \begin{bmatrix}e_1 , e_2 , e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$

$(e_1,e_2,e_3)$为线性空间的基

左手系和右手系

对于$\bold{a,b}\in \Bbb{R}^3$，内积可以写成$\bold{a\cdot b} = a^Tb=\displaystyle\sum_{i=1}^3 a_ib_i =\bold{|a||b|cos<a,b>}$

外积可以写成

$$\bold{a \times b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = {(a_2b_3-a_3b_2)i + (a_3b_1-a_1b_3)j + (a_1b_2 - a_2b_1)k}$$

结果用向量表示就是$\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2 - a_2b_1\end{bmatrix}$

所以

$$\bold{a\times b} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \bold{b} \triangleq \bold{a^\wedge b}$$

引入符号$\triangleq$，把$\bold{a}$ 写成一个反对称矩阵(Skew-symmetric)，这样可以把外积$\bold{a\times b}$写成矩阵与向量的乘法$a^\wedge b$，把它变成线性运算。
外积只对三维向量存在定义，还能用外积表示向量的旋转

坐标系间的欧式变换

两个坐标系之间的旋转关系，再加上平移，统称为坐标系之间的变换关系，在机器人的运动过程中，常见的做法是设定一个惯性坐标系(世界坐标系)，可以认为它是固定不动的，如下图中的$x_w,y_w,z_w$定义的坐标系。同时，相机或者机器人则是一个移动的坐标系，例如$x_c,y_c,z_c$定义的坐标系

相机视野中某个向量$\bold{p}$，坐标为$\bold{p}_c$，而从世界坐标系下看，他的坐标是$\bold{p}_w$。这两个坐标的转换需要先得到该点针对机器人坐标系的坐标值，再根据机器人的位姿转换到世界坐标系中，这个转换关系由一个矩阵$\bold{T}$来描述

相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。这种变换称为欧式变换

假设某个单位正交基$(\bold{e}_1,\bold{e}_2,\bold{e}_3)$经过一次旋转变成了$(\bold{e}_1^{\prime},\bold{e}_2^{\prime},\bold{e}_3^{\prime})$。那么对于同一个向量$\bold{a}$(注意这个向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动)，它在两个坐标系下的坐标为$[a_1,a_2,a_3]^T$和$[a_1^{\prime},a_2^{\prime},a_3^{\prime}]^T$
根据坐标的定义，有:

$$\begin{align} [\bold{e}_1,\bold{e}_2,\bold{e}_3] \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} &= [\bold{e}_1^{\prime},\bold{e}_2^{\prime},\bold{e}_3^{\prime}] \begin{bmatrix} a_1^{\prime} \\ a_2^{\prime} \\ a_3^{\prime} \\ \end{bmatrix} \\\\ \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} & \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} & \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} \\ \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} & \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} & \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} \\ \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} & \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} & \bold{e}_1^T\bold{e}_1^{\prime} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1^{\prime} \\ a_2^{\prime} \\ a_3^{\prime} \\ \end{bmatrix} \triangleq \bold{Ra^{\prime}} \end{align}$$

$\bold{R}$描述了旋转本身，称为旋转矩阵
旋转矩阵是行列式为$1$的正交矩阵，反之，行列式为$1$的正交矩阵也是一个旋转矩阵
旋转矩阵的集合定义如下:

$$SO(n) = \{\bold{R} \in \Bbb{R}^{n\times n}|\bold{R}\bold{R}^T = \bold{I},det(\bold{R})=1\}$$

$SO(n)$是特殊的正交群，旋转矩阵可以描述相机的旋转

因为旋转矩阵为正交阵，它的逆描述了一个相反的旋转，即

$$\bold{a}^{\prime} = \bold{R}^{-1}a = \bold{R}^T\bold{a}$$

在世界坐标系中的向量$\bold{a}$，经过一次旋转$\bold{R}$和一个平移$\bold{t}$后，得到$a^{\prime}$，有

$$a^{\prime} = \bold{R}a + \bold{t}$$

变换矩阵与齐次坐标系

引入齐次坐标和变换矩阵重写式以解决多次变换后过于复杂的问题

$$\begin{bmatrix} \bold{a}^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bold{R} & \bold {t} \\ \bold{O}^T & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bold{a} \\ 1 \end{bmatrix} \triangleq \bold{T}\begin{bmatrix} \bold{a} \\ 1 \end{bmatrix}$$

变换矩阵$\bold{T}$，左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为$\bold{0}$向量，右下角为1。这种矩阵又称为特殊欧氏群（Special Euclidean Group）

$$SE(3) = \left\{ \bold{T} = \begin{bmatrix} \bold{R} & \bold{t} \\ \bold{O}^T & 1 \end{bmatrix} \in \Bbb{R}^{4\times 4} | \bold{R} \in SO(3),t\in \Bbb(R)^3 \right\}$$

该矩阵的逆表示一个反向的变换

$$\bold{T}^{-1} = \begin{bmatrix} \bold{R}^T & -\bold{R}^T\bold{t} \\ \bold{O}^T & 1 \end{bmatrix}$$

四元数

复平面(Complex plane)

旋转 (opens new window)

四元数(Quaternion) 是Hamilton找到的一种扩展的复数。它既是紧凑的，也没有奇异性

一个四元数 $\bold{q}$ 拥有一个实部和三个虚部

$$\bold{q} = q_0 + q_1i + q_2j + q_3k$$

三个虚部$i,j,k$满足的关系:

$$\begin{cases} i^2 = j^2 = k^2 = -1 \\ ij = k ,ji = -k \\ jk = i ,kj = -i \\ ki = j ,ik = -j \end{cases}$$

四元数的其他表达方式，$s$为实部，$\bold{v}$为虚部

$$\bold{q} = [s,\bold{v}] , s = q_0 \in \Bbb{R} ,\bold{v} = [q_1,q_2,q_3]^T \in \Bbb{R}^3$$

如果一个四元数虚部为 $\bold{0}$，称之为实四元数。反之，若它的实部为 0，称之为虚四元数