行列式

二阶行列式

对于二元线性方程组

$$\begin{dcases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{dcases}$$

求得线性方程组的解为(当$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$时)

$$x_1 = \frac{b_{1}a_{22} - a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \\ x_2 = \frac{a_{11}b_2 - b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}$$

分母是由四个系数确定的,把四个系数列成二行二列的数表

$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}$$

表达式$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$称为数表所确定的二阶行列式，记作

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$

利用二阶行列式的概念，把分子也用二阶行列式表示

$$D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} , D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}$$

则二元线性方程组的解可以用下面式子表示

$$x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}$$

三阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}$$

全排列和对换

$n$个元素排成一列，叫做这$n$个元素的全排列(简称排列)
排列的可能性是有$n!$种

对于$n$个元素规定一个标准的次序，比如$n$个自然数，可规定从小到大为标准次序
在$n$各元素的任一排列中，当某个元素的先后次序与标准次序不同的时候，就说它构成一个逆序
一个排列中所有的逆序数的总数叫做这个排列的逆序数
逆序数为奇数的叫奇排列,反之叫偶排列

n 阶行列式的定义

对于三阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \qquad (三阶行列式计算展开公式)$$

等号右边的每一项都是三个元素的乘积，并且每个元素位于不同的行，不同的列，因为任意一项不考虑正负的话可以写成$a_{1P_1}a_{2P_2}a_{3P_3}$，这个式子
的第一个下标排成标准的次序$123$，而第二个下标(列标)排成$P_1P_2P_3$，他是$1,2,3$三个数的某种排列，这种排列有 6 种，对应三阶行列式三阶行列式计算展开公式等号右边的 6 项

每一项的符号和第二个下标的排列的逆序数构成规律，偶数个是正的，奇数个是负的

所以三阶行列式可以写成

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \sum (-1)^ta_{1P_1}a_{2P_2}a_{3P_3}$$

$t$ 表示列排列的逆序数

推广到$n$阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \sum (-1)^ta_{1P_1}a_{2P_2}\cdots a_{nP_n}$$

主对角线以下的元素都是$0$的行列式叫做上三角行列式
主对角线以上的元素都是$0$的行列式叫做下三角行列式
主对角线上下的元素都是$0$的行列式叫做对角行列式

可以推算出这仨行列式的值都是对角线元素的乘积

行列式的性质

性质 1：行列式与它的转置行列式相等

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} , D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$

性质 2：对换行列式的两行(列)，行列式变号

推论：如果行列式的两行(列)完全相同，此行列式等于 0
证明:如果把这两行对换，则有$D=-D$，故$D=0$

性质 3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以$k$，等于用数$k$乘此行列式

推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提取到行列式记号的外边

性质 4:行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于 0

性质 5:行列式之和

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} + a_{i1}^{\prime} & a_{i2} + a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in} + a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1}^{\prime} & a_{i2}^{\prime} & \cdots & a_{in}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$

性质 6:把行列式的某一行(列)的各个元素乘同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变

行列式按行(列)展开

一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，为此引进余子式和代数余子式的概念

在$n$阶行列中中，把$i$行$j$列划去后，留下来的$n-1$阶行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$

$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

$A_{ij}$叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的代数余子式

例:

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{vmatrix}$$

$$M_{32} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \\ \end{vmatrix}$$

$$A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}$$

引理：一个$n$阶行列式，如果其中第$i$行除了$(i,j)$以外的元素都为$0$的话，那么这个行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积

$$D = a_{ij}A_{ij}$$

定理 2：行列式等于它的任一行(列)的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

$$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \\ = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}$$

推论: 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

$$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0, i\neq j \\ 或 \\ a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ni}A_{nj} = 0, i\neq j$$

其他性质

对于行列式$D$

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & a_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix} \\ D_1 = det(a_{ij}) = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix} , D_2 = det(b_{ij}) = \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix}$$

有$D = D_1D_2$

证明

$D_1$和$D_2$均可转换成下三角行列式

$$D_1 = \begin{vmatrix} p_{11} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{k1} & \cdots & p_{kk} \end{vmatrix} = p_{11}\cdots p_{nn}, D_2 = \begin{vmatrix} q_{11} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ q_{n1} & \cdots & q_{nn} \end{vmatrix} = q_{11}\cdots q_{nn}$$

代入原行列式$D$

$$D = \begin{vmatrix} p_{11} & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{k1} & \cdots & p_{kk} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & q_{11} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & a_{nk} & q_{n1} & \cdots & q_{nn} \end{vmatrix}$$

$D = p_{11}\cdots p_{kk}q_{11}\cdots q_{nn} = D_1D_2$

总结

行列式 $D = \begin{vmatrix} D_1 & O \\ C & D_2\end{vmatrix} = |D_1| |D_2|$