矩阵的初等变化与线性方程组

矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换

• 对换两行记作 $r_i\leftrightarrow r_j$
• 以数$k\ne 0$乘某一行中的所有元(第$i$行乘$k$，记作$r_i\times k$)
• 把某一行所有元的$k$倍加到另外一行对应的元上去(第$j$行的$k$倍加到第$i$行上，记作$r_i+kr_j$)

矩阵的初等列变换
参考行变换，把"行"换成"列"，$r$换成$c$

如果矩阵$A$经过有限次初等行变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$行等价，记作$A\stackrel{r}{\thicksim}B$
如果矩阵$A$经过有限次初等列变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$C$列等价，记作$A\stackrel{c}{\thicksim}B$
如果矩阵$A$经过有限次初等变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$C$等价，记作$A\thicksim B$

矩阵之间的等价关系具有下列性质:

• 反身性 $A\thicksim A$
• 对称性 若 $A\thicksim B$ 则 $B\thicksim A$
• 传递性 若 $A\thicksim B,B\thicksim C$，则$A\thicksim C$

$$\begin{cases} 2x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 2 \\ x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 4 \\ 4x_1 - 6x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 4 \\ 3x_1 + 6x_2 - 9x_3 + 7x_4 = 9 \end{cases} \\ \begin{align} B &= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \\ \end{pmatrix} \\\\ & \utilde{\substack{r_1\leftrightarrow r_2\\r_3\div 2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \\ \end{pmatrix} = B_1 \\\\ & \utilde{\substack{r_2-r_3\\ r_3-2r_1\\r_4 -3r_1}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3 \\ \end{pmatrix} = B_2 \\\\ & \utilde{\substack{r_2\div 2\\ r_3+ 5r_2\\r_4 -3r_2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ \end{pmatrix} = B_3 \\\\ & \utilde{\substack{r_3\leftrightarrow r_4 \\ r_4 -2r_3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = B_4 \\\\ & \utilde{\substack{r_1- r_2 \\ r_2 -r_3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = B_5 \\\\ \end{align}$$

$B5$对应的方程组

$$\begin{cases} x_1 - x_3 = 4 \\ x_2 - x_3 = 3 \\ x_4 = -3 \end{cases} \\\\ {\bf {x}} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c+4 \\ c+3 \\ c \\ -3 \end{pmatrix} \\\\ c为任意常数$$

满足下列两个条件的非零矩阵称为行阶梯形矩阵

• 非零行在零行的上面
• 非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在上一行)的首非零元所在列的右边

如果还满足下列条件，则称为行最简形矩阵 (例如$B5$)

• 非零行的首非零元为1
• 首非零元所在的列的其他元均为0

定理1 设$A$与$B$为$m\times n$矩阵,那么

• $A\stackrel{r}{\thicksim}B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$，使得$PA = B$
• $A\stackrel{c}{\thicksim}B$的充分必要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$AQ=B$
• $A\thicksim B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ=B$

定义 由单位矩阵$E$经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵

性质1 设$A$是一个$m\times n$的矩阵，对$A$施行一次初等行变换，相当于在$A$的左边乘相应的$m$阶初等矩阵;对$A$施行一次初等列变换，相当于在$A$的右边乘相应的$n$阶初等矩阵

性质2 方阵$A$可逆的充分必要天剑是存在有限个初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_l$使得$A = P_1P_2\cdots P_l$

推论 方阵$A$可逆的充分必要条件是$A\stackrel{r}{\thicksim}E$

运用场景

设$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 4 & -6 & 2\end{pmatrix}$ 的最简形矩阵为$F$，求$F$，并求出一个可逆矩阵$P$，使得$PA=F$

解:

$$(A,E) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -6 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \utilde{\text{Elementary Row Operations}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 10 & -8 & -3 \end{pmatrix}$$

故：$F=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ 为$A$的行最简型矩阵，而使$PA=F$的可逆矩阵为

$$\begin{pmatrix} -3 & 3 & 1 \\ 3 & -2 & -1 \\ 10 & -8 & -3 \end{pmatrix}$$

求解矩阵方程$AX = B$，其中$A = \begin{pmatrix} 2 & 1& -3 \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

解:

设可逆矩阵$P$使得$PA =F$为行最简形矩阵，则$P(A,B) = (F,PB)$
若$F = E$则$A$可逆，且$P = A_{-1}$ ，则 $X = PB = A_{-1}B$

$$(A,B) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & -2 & 5 \end{pmatrix} \utilde{Elementary Row Operations} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{pmatrix} \\\\ X =A^{-1}B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 0 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$

矩阵的秩(Rank)

定义: 在$m\times n$阶 矩阵$A$中，任取 $k$行与$k$列，位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在$A$中所处的位置次序而得到的$k$阶行列式，称为矩阵$A$的$k$阶子式

引理: 设$A\stackrel{r}{\thicksim}B$，则$A$与$B$中的非零子式的最高阶数相等

秩的定义：设在矩阵$A$中有一个不等于$0$的$r$阶子式$D$，且所有$r+1$阶子式(如果存在的话)都等于$0$，那么$D$称为矩阵$A$的最高阶非零子式，数$r$称为矩阵$A$的秩，记作$R(A)$，并规定零矩阵的秩等于$0$

不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数，因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵-singular matrix)又称降秩矩阵

定理: 若$A\thicksim B$，则$R(A) = R(B)$

推论：若可逆矩阵$P,Q$使得$PAQ=B$，则$R(A) = R(B)$

秩的性质

• $0\leq R(A_{m\times n})\leq min\{m,n\}$

• $R(A^T) = R(A)$
  

  
  

  证:

  行列式与其转置行列式相等，因此$A_T$的子式与$A$的子式对应相等，从而$R(A^T) = R(A)$
  

• 若$A\thicksim B$，则$R(A) = R(B)A$

• 若$P,Q$可逆，则$R(PAQ) = R(A)$

• $max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B) \leq R(A) + R(B)$

• $R(A+B)\leq R(A) + R(B)$
  

  
  

  证:

  
  设 $A,B$为$m \times n$阶矩阵，对矩阵$\begin{pmatrix}A + B \\ B\end{pmatrix}$作初等变换
  

  $$\begin{pmatrix} A+B \\ B \end{pmatrix} \stackrel{r}{\thicksim} \begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}$$

  
  于是
  

  $$R(A+B) \leq R\begin{pmatrix}A+B\\B\end{pmatrix} = R\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=R\begin{pmatrix}A^T , B^T \end{pmatrix}^T = R(A^T,B^T) \leq R(A^T) + R(B^T) = R(A) + R(B)$$

  
  

• $R(AB) \leq min\{R(A),R(B)\}$

• 若$A_{m\times n}B_{n\times l} = O$，则$R(A) + R(B) \leq n$

例题

若$A_{m\times n}B_{n\times l} = C$，且$R(A) = n$，则$R(B) = R(C)$

证:

$$\begin{align} &\because R(A) = n \\ &\therefore A的行最简形矩阵为 \begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix}_{m \times n} \\ & 并有m阶可逆矩阵P，使得PA = \begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix} \\ &\therefore PC = PAB = \begin{pmatrix} E_n \\ O \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} B \\ O \end{pmatrix} \\ &\because R(C) = R(PC)，R\begin{pmatrix} B \\ O \end{pmatrix} = R(B) \\ &\therefore R(C) = R(B) \end{align}$$

本例中$A$的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵，当$A$为方阵时，列满秩矩阵就变成了满秩矩阵，也就是可逆矩阵
本例的另一种重要的特殊情况是$C=O$，这时的结论为
设$AB = O$，若$A$为列满秩矩阵，则$B=O$，这一结论通常称为矩阵乘法的消去律

线性方程组的解

线性方程组如果有解，则称它们是相容的，否则称不相容，利用系数矩阵$A$和增广矩阵$B = (A,b)$的秩，可以方便的讨论线性方程组是否有解

定理 ：针对$n$元线性方程组$Ax=b$

• 无解的充分必要条件是$R(A)<R(A,b)$
• 有唯一解的充分必要条件是$R(A) = R(A,b) = n$
• 有无限多解的充分必要条件是$R(A) = R(A,b) < n$
• $n$元齐次线性方程组$Ax = 0$有非零解的充分必要条件是$R(A) < n$
• 线性方程组$Ax =b$有解的充分必要条件是 $R(A) = R(A,b)$
• 矩阵方程$AX=B$有解的充分必要条件是$R(A) = R(A,B)$
• 设$AB = C$，则$R(C) \leq min\{R(A),R(B)\}$

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