不定式与反常积分

不定式

求极限遇到$\frac{0}{0}$ 或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，把这种极限叫做"不定式"，$\frac{0}{\infty},\frac{\infty}{0}$均不属于不定式

洛必达法则

如果 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$是不定式，那么$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a }\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

洛必达法则可以连续使用，但是连续使用前必须检查它是否仍然是一个不定式，比如

$$\begin{align} \lim_{x\to 0} \frac{e^x - x -1 }{x^2} &= \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{2x} \\ &= \lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2} = \frac{1}{2} \end{align}$$

反常积分

反常积分分类

• 没有上限或者下限的积分，例如

  $$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$$

• 有一定的积分区间，但是在积分过程中，被积函数的值在某处却跑到了$\pm\infty$ 例如:
  

  $$\int_{-1}^2\frac{1}{x^{2/3}dx}$$

  当$x=0$ ，被积函数等于$\infty$

当积分上下限为$\pm\infty$时

$$\int_a^{\infty} f(x)dx = \lim_{b\to \infty}\int_a^b f(x)dx$$

当反常积分的答案是个有限的数,则称反常积分收敛 ， 如果极限是$\infty$或不存在 ，则称之为发散

例:求

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$$

📜:

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}dx = \lim_{b\to \infty}\int_1^b\frac{1}{x^2}dx = \left. \lim_{b\to \infty}\frac{-1}{x} \right|_1^b = \lim_{b\to \infty}((\frac{-1}{b})-(-1)) = 1$$

当被积函数变成$\pm \infty$

例:求

$$\int_{-1}^2\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}dx$$

当$x = 0$时候,被积函数的值不存在

$$\begin{align} \int_{-1}^2\frac{1}{x^{2/3}}dx &= \int_{-1}^2\frac{0}{x^{2/3}}dx + \int_{0}^2\frac{2}{x^{2/3}}dx \\ &=\left. \lim_{b\to 0^{-}}3x^{1/3}\right|_{-1}^b + \left. \lim_{b\to 0^{+}}3x^{1/3}\right|_{b}^2 \\ &= 3 + 3(2)^{1/3} \approx 6.780 \end{align}$$