极坐标

公式

$$x = r\cos\theta \\ y= r\sin\theta \\ r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \tan\theta = \frac{y}{x} (假定 x\ne 0)$$

例子

例：$r=2\sin\theta$，求圆心的位置以及半径

$$r = 2\sin\theta \\ r^2 = 2r \sin\theta \\ x^2 + y^2 = 2y \\ x^2 + (y^2-2y +1 ) = 1 \\ x^2 + (y-1)^2 = 1$$

所以半径是1，圆心在$(0,1)$

结论:

一个半径为$a$，圆心在$(0,a)$的圆，极坐标方程为$r = 2a\sin\theta$

一个半径为$a$，圆心在$(a,0)$的圆，极坐标方程为$r = 2a\cos\theta$

求面积

$$A = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}(f(\theta))^2d\theta$$