# 多重积分

# 柱面坐标与球面坐标

$(r,\theta,z)$ 中 , $r,\theta$ 表示在 $\textit{xOy}$ 平面上的投影位置， $z$ 表示与 $\textit{xOy}$ 平面的距离

x = rcos\theta \\ y = rsin\theta \\ r^2 = x^2 + y^2 \\ z = z

$dV = rdr\theta dz$

函数 $f$ 在立体区域 $V$ 上的积分公式就是

\iiint\limits_V f(r,\theta,z)rdrd\theta dz

x = r\sin\varphi \cos\theta \\ y = r\sin\varphi \sin\theta \\ z = r\cos\varphi

\begin{align} & \begin{align} \Delta V &\approx \Delta r\cdot r\Delta\theta \cdot r\sin\theta\Delta\varphi \\ &= r^2\sin\theta\Delta\varphi \Delta r\Delta\theta \end{align}\\\\ &\iiint\limits_V f(x,y,z)dV = \iiint\limits_V f(r,\theta,\varphi )r^2\sin\theta drd\theta d\varphi \end{align}

\begin{align} & \sigma(x,y,z) 为密度函数 \\\\ & 质量 = \iiint\limits_V \sigma(x,y,z)dxdydz \\\\ & 当密度 \sigma(x,y,z) = 1 时，质量等于体积 \end{align}

\begin{align} \overline{x} = \frac{ \iiint\limits_V\sigma(x,y,z)x dxdydz }{ \iiint\limits_V\sigma(x,y,z) dxdydz } \\\\ \overline{y} = \frac{ \iiint\limits_V\sigma(x,y,z)y dxdydz }{ \iiint\limits_V\sigma(x,y,z) dxdydz } \\\\ \overline{z} = \frac{ \iiint\limits_V\sigma(x,y,z)z dxdydz }{ \iiint\limits_V\sigma(x,y,z) dxdydz } \\\\ \end{align}

对于质点，它的惯性矩等于 $mr^2$ ，其中 $m$ 表示质量，而 $r$ 则是该质点与转动中心之间的距离

\begin{align} & 质量密度为\sigma(x,y,z)的物体惯性矩等于 \\\\ & \iiint\limits_V\sigma(x,y,z)(x^2+y^2)dxdydz \\\\ & 柱面坐标： \\\\ & \iiint\limits_V\sigma(r,\theta,z)(r^2)rdrd\theta dz \\\\ \end{align}

在切换坐标系的时候，应该用什么取代 $dV = dxdydz$ ?

假设在某一个新的坐标系里，描述空间中一个点的坐标变成了 $u,v,w$ ，而不是 $x,y,z$ 。假设这套坐标与 $x,y,z$ 的关系为 $x=f_x(u,v,w),y=f_y(u,v,w),z=f_z(u,v,w)$

此时，函数 $f(x,y,z)$ 的三重积分公式 $\iiint\limits_Vf(x,y,z)dV$ 就会变换成 $\iiint\limits_Vf(u,v,w)dV$ ，但是后边这个 $dV$ 得用新的坐标系来表示，也就是要找出在 $uvw$ 坐标系下，一个小盒子形状区域的体积。

设向量 $\bold{r} = x\bold{i} + y\bold{j} + z\bold{k}$ ，则盒子状区域的体积差不多与下边三个向量的三重积相等

\frac{ \partial \bold{r} }{\partial u}, \frac{ \partial \bold{r} }{\partial v}, \frac{ \partial \bold{r} }{\partial w},

即， $dV$ 等于这三个向量的三重内积

dV = \underbrace{ \begin{vmatrix} \frac{ \partial x }{\partial u} & \frac{ \partial y }{\partial u} & \frac{ \partial z }{\partial u} \\\\ \frac{ \partial x }{\partial v} & \frac{ \partial y }{\partial v} & \frac{ \partial z }{\partial v} \\\\ \frac{ \partial x }{\partial w} & \frac{ \partial y }{\partial w} & \frac{ \partial z }{\partial w} \\\\ \end{vmatrix}}_{ 雅克比行列式 } du\,dv\,dw = \underbrace{ \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| }_{雅克比行列式缩写}du\,dv\,dw

雅克比行列式，代表了 $u,v,w$ 坐标和 $x,y,z$ 坐标之间的体积伸缩因子

由此， $u,v,w$ 坐标系下的三重积分可以写成

\iiint\limits_Vf(u,v,w)\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|du\,dv\,dw

例：从直角坐标 $(x,y,z)$ 到球面坐标 $(\rho,\varphi,\theta)$ 的转换

\begin{align} & x = \rho\sin\varphi\cos\theta \\ & y = \rho\sin\varphi\sin\theta \\ & z = \rho\cos\varphi \\\\ & \bold{r} = \rho\sin\varphi\cos\theta\bold{i} + \rho\sin\varphi\sin\theta\bold{j} + \rho\cos\varphi\bold{k} \\ & \frac{\partial{\bold{r}}}{\partial{\rho}} =\sin\varphi\cos\theta \bold{i} + \sin\varphi\sin\theta\bold{j} + \cos\varphi\bold{k} \\ & \frac{\partial{\bold{r}}}{\partial{\varphi}} = \rho\cos\varphi\cos\theta\bold{i} + \rho\cos\varphi\sin\theta\bold{j} - \rho\sin\varphi\bold{k} \\ & \frac{\partial{\bold{r}}}{\partial{\theta}} = -\rho\sin\varphi\sin\theta \bold{i} + \rho\sin\varphi\cos\theta\bold{j} \\\\ & \begin{vmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \sin\varphi\sin\theta & \cos\varphi \\ \rho\cos\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & -\rho\sin\varphi \\ -\rho\sin\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = \rho^2\sin\varphi \\\\ &\therefore \iiint\limits_V f(x,y,z)dV = \iiint\limits_V f(\rho,\varphi,\theta )\rho^2\sin\theta d\rho\,d\varphi\,d\theta \end{align}