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# 无穷级数

# 基本概念

无穷级数值的是下述形式的和

a1+a2+a3+⋯+an+⋯ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots

一个级数到第nn项的部分和是

Sn=a1+a2+⋯+an S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

收敛和发散

一个级数的和SS，如果

S=lim⁡n→∞Sn S = \lim_{n\to \infty} S_n

则

∑n=1∞an=S \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S

那么我们称这个级数收敛到SS，如果

lim⁡n→∞Sn \lim_{n\to\infty}S_n

不存在，则称该函数发散

# 几何级数

几何级数的每一项(除了第一项)，都等于它的前一项乘上公比rr

几何级数检验法

如果∣r∣<1|r|<1，则几何级数a+ar+ar2+ar3+⋯a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots收敛到a1−r\frac{a}{1-r}；如果∣r∣≥1|r| \ge 1，则该级数发散

# 第n项检验法

如果lim⁡n→∞an≠0，则无穷级数∑n=1∞an发散 如果 \lim_{n \to \infty}a_n\ne 0 ，则无穷级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n发散

例如

12+23+34+⋯+nn+1+⋯lim⁡n→∞nn+1=1∴∑an收敛 \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{n}{n+1} + \cdots \\ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = 1 \\ \therefore \sum a_n 收敛

# 积分检验与p级数

如果an=f(n)a_n = f(n)，其中ff是连续的正值函数，且对x≥1x\ge 1时为递减，那么在这些条件下∫1∞f(x)dx\int_{1}^{\infty}f(x)dx与∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n要么同为收敛，要么同为发散

调和级数

1+12+13+14+⋯=∑n=1∞1n∫1∞=lim⁡b→∞ln⁡x∣1b=∞ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \\ \int_{1}^{\infty} = \left. \lim_{b\to\infty}\ln x \right|_1^{b} = \infty \\

p级数

形式为∑n=1∞1np(p>0)的级数，即是p级数 形式为 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}(p>0)的级数，即是p级数

p级数检验法

对p>1,p级数∑n=1∞1np收敛；对p≤1，则发散 对 p > 1 , p 级数 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}收敛；对 p\le 1，则发散

# 比较检验法

基本比较检验法如果∑n=1∞an和∑n=1∞都是正项级数，而且对所有的n，bn≥an则1.∑n=1∞bn若收敛，∑n=1∞an也收敛1.∑n=1∞an若发散，∑n=1∞bn也发散 基本比较检验法 如果\sum_{n=1}^{\infty}a_n 和 \sum_{n=1}^{\infty}都是正项级数，而且对所有的 n ，b_n \ge a_n 则 \\ 1. \sum_{n=1}^{\infty} b_n 若收敛，\sum_{n=1}^{\infty}a_n 也收敛 \\ 1. \sum_{n=1}^{\infty} a_n 若发散，\sum_{n=1}^{\infty}b_n 也发散 \\

极限比较检验法

如果∑n=1∞an跟∑n=1∞bn都是正项级数，且对某个正数k有lim⁡n→∞anbn=k则这两个级数同为收敛，或者同为发散 如果\sum_{n=1}^{\infty}a_n 跟 \sum_{n=1}^{\infty}b_n 都是正项级数，且对某个正数k 有 \\ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = k \\ 则这两个级数同为收敛，或者同为发散
例:求∑n=1∞1n+1是否收敛∵lim⁡b→∞anbn=lim⁡n→∞1n+11n=lim⁡n→∞nn+1=1∴发散 例:求 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1} 是否收敛 \\ \because \lim_{b\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} = 1 \\ \therefore 发散

# 交错级数与绝对收敛

交错级数的形式

a1−a2+a3−a4+⋯+(−1)n+1an+⋯−a1+a2−a3+a4−⋯+(−1)nan+⋯ a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots + (-1)^{n+1}a_n + \cdots \\ - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \cdots + (-1)^{n}a_n + \cdots \\

交错级数检验法

忽略每一项的正负号(假设都是正的)，如果对所有的n，有an+1≤an，而且lim⁡n→∞an=0，则对应的交错级数收敛 忽略每一项的正负号(假设都是正的)，如果对所有的n，有a_{n+1} \le an，\\ 而且 \lim_{n\to\infty} a_n = 0，则对应的交错级数收敛

例:

求∑n=1∞(−1)n+1nn2+1是否收敛 求 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{n^2+1} 是否收敛
解:an=nn2+1an+1=n+1(n+1)2+1an−an+1=n2+n−1(n2+1)(n2+2n+2)当n≥1，an−an+1≥0lim⁡n→∞nn2+1=lim⁡n→∞12n=0 解:\\ a_n = \frac{n}{n^2+1} \\ a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} \\ a_n - a_{n+1} = \frac{n^2 + n -1 } {(n^2 +1)(n^2+ 2n +2)} \\ 当 n \ge 1 ，a_n - a_{n+1} \ge 0 \\ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n} = 0

绝对收敛

如果级数∑n=1∞∣an∣收敛，则级数∑n=1∞an为绝对收敛 如果级数 \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|收敛，则级数 \sum_{n=1}^{\infty}a_n为绝对收敛

条件收敛

∑n=1∞(−1)nn收敛，而不绝对收敛，因为取绝对值以后，整个级数就变成了调和级数，这类级数叫做条件收敛 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}收敛，而不绝对收敛，因为取绝对值以后，整个级数就变成了调和级数，这类级数叫做条件收敛

绝对收敛定理

如果一个级数绝对收敛，那么它就是收敛的

# 比值检验法和根值检验法

比值检验法

若∑n=1∞un是一个级数1.如果lim⁡n→∞∣un+1un∣<1，则该级数绝对收敛2.如果lim⁡n→∞∣un+1un∣>1，则该级数发散3.如果lim⁡n→∞∣un+1un∣=1，情况不确定 若\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}是一个级数 \\ \begin{align} & 1.如果\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| < 1，则该级数绝对收敛 \\ & 2.如果\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| > 1，则该级数发散 \\ & 3.如果\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = 1，情况不确定 \end{align}

根值检验法

若∑n=1∞un是一个级数1.如果lim⁡n→∞(∣un∣)1n<1，则该级数绝对收敛2.如果lim⁡n→∞(∣un∣)1n>1，则该级数发散2.如果lim⁡n→∞(∣un∣)1n=1，情况不确定 若\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}是一个级数 \\ \begin{align} & 1.如果\lim_{n\to\infty}(|u_n|)^{\frac{1}{n}} < 1，则该级数绝对收敛 \\ & 2.如果\lim_{n\to\infty}(|u_n|)^{\frac{1}{n}} > 1，则该级数发散 \\ & 2.如果\lim_{n\to\infty}(|u_n|)^{\frac{1}{n}} = 1，情况不确定 \\ \end{align}
例:试判断∑n=1∞1en的收敛性解:lim⁡n→∞∣1en∣1n=lim⁡n→∞∣1e∣=1e<1 例:\\ 试判断\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^n}的收敛性 \\ 解:\\ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{e^n}\right|^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{e}\right| = \frac{1}{e} < 1

# 幂级数

幂级数的形式

∑n=0∞anxn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots

例题1

试判定能让下列级数收敛的所有x值∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯解：使用比值检验法lim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞∣xn+1(n+1)!xnn!∣=lim⁡n→∞∣x∣n+1=0<1∴x可取任意数值 \begin{align} & 试判定能让下列级数收敛的所有x值 \\ & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \\ & 解：\\ & 使用比值检验法 \\ & \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|}{n+1} = 0 < 1 \\ & \therefore x可取任意数值 \end{align}

例题2

试判定能让下列级数收敛的所有x值∑n=1∞nxn3n=x3+2x29+3x327+⋯解：lim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞∣(n+1)xn+13n+1nxn3n∣=lim⁡n→∞∣x∣(n+1)3n=∣x∣3当−3<x<3时，级数收敛，当x>3或者x<−3时，级数发散当x=3时级数变成∑n=1∞n3n3n=∑n=1∞n，由于lim⁡n→∞n=∞，所以发散当x=−3时级数变成∑n=1∞(−1)nn，所以发散 \begin{align} & 试判定能让下列级数收敛的所有x值 \\ & \sum_{n=1}{\infty} \frac{nx^n}{3^n} = \frac{x}{3} + \frac{2x^2}{9} + \frac{3x^3}{27} + \cdots \\ \\ & 解： \\ & \lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ \frac{(n+1)x^{n+1}}{3^{n+1}} }{ \frac{nx^n}{3^n} }\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|x|(n+1)}{3n} = \frac{|x|}{3} \\ & 当 -3 <x <3 时，级数收敛，当 x>3 或者 x<-3 时，级数发散 \\ & 当 x = 3 时 \\ & 级数变成 \sum_{n=1}{\infty} \frac{n 3^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} n ，由于\lim_{n\to\infty}n = \infty ，所以发散 \\ & 当 x = -3 时 \\ & 级数变成 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nn，所以发散 \end{align}

# 检验方法的选择

下边每一步，只要判定成功了，就没必要进行下一步了

第一步：先使用第n项检验法，如果lim⁡n→∞≠0\lim_{n\to\infty}\ne 0，则级数发散

第二步：看看是不是几何级数，或者是 p 级数，如果是的话根据几何级数和p级数的方式判定

第三步：看看是不是正项级数，如果是的话，考虑基本比较法、极限比较检验法 、比值检验法、根值检验法、积分检验法

第四步：如果 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n是交错级数，可以使用交错级数检验法，也可以用第三步的方法应用到∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|，如果∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|收敛，则∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty}a_n也收敛

第五步：对付幂级数，可以用比值检验法或者根值检验法找出收敛的区间，然后针对端点处理，使用上述任意方法判断

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