向量场 与 格林-斯托克斯

向量场

空间中的向量场

$$F(x,y,z) = P(x,y,z)\bold{i} + Q(x,y,z)\bold{j} + R(x,y,z)\bold{k}$$

地球的重力场可以表示为

$$F(x,y,z) = (\frac{-cx}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})\bold{i} + (\frac{-cy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})\bold{j} + (\frac{-cz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}})\bold{k}$$

梯度场

取函数的梯度得到的向量场，叫做保守向量场，例如函数$F(x,y) = xy - x^2$

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \bold{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\bold{j} =\underbrace{(y-2x)\bold{i} + x\bold{j}}_{位势函数}$$

散度与旋度

散度

向量场 $F$ 的散度的公式

$$div \bold{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

散度只是向量场的$x$分量对$x$的偏导数 ，加上$y$分量对$y$的偏导，再加上$z$分量对$z$的偏导数。

散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点，形象地说，就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是"向外"居多还是"向内"居多 (opens new window)

$div \bold{F}$是一个数字，而不是向量

例: $\bold{F} = 3x^3z\bold{i} + 4xyz\bold{j} + yz^2\bold{k}$，求$div \bold{F}$

$$div \bold{F} = \frac{\partial(3x^2z)}{\partial x} + \frac{\partial(4xyz)}{\partial y} + \frac{\partial(yz^2)}{\partial z} = 9x^2z + 4xz + 2yz$$

Nabla 算子 (opens new window)

$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\bold{i} + \frac{\partial}{\partial y}\bold{j} + \frac{\partial}{\partial z}\bold{k}$$

$$\begin{align} div\bold{F} & = \nabla \cdot \bold{F} \\ & = ( \frac{\partial}{\partial x}\bold{i} + \frac{\partial}{\partial y}\bold{j} + \frac{\partial}{\partial z}\bold{k} ) \cdot ( P\bold{i} + Q\bold{j} + R\bold{k} )\\ & = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \end{align}$$

旋度

$$\begin{align} curl \bold{F} &= ( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} )\bold{i} + ( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} )\bold{j} + ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} )\bold{k} \\ & = \nabla \times \bold{F} \\ & = \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \end{align}$$

线积分

一般的积分都是在某个区间$[a,b]$上做积分，而(曲)线积分则是在空间中的曲线做积分，线积分又称为路径积分，而路径也可以叫做曲线。

曲线用参数形式描述 $\bold{r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$，$x(t),y(t),z(t)$分表表示在$t$时刻$x,y,z$的值,因而长度等于 速率 $|\bold{r}^{\prime}|$乘以时间间隔$\Delta t$

$$长度 = \int_C ds = \int_a^b \sqrt{ [x^{\prime}(t)]^2 + [y^{\prime}(t)]^2 + [z^{\prime}(t)]^2 } dt$$

向量场的线积分

$$\int_C \bold{F}(\bold{r})\cdot d\bold{r} = \int_a^b \bold{F}(\bold{r}(t))\cdot \bold{r}^{\prime}(t)dt$$

其他形式

$$\int_C\bold{P}dx + \bold{Q}dy$$

向量场$\bold{F} = P(x,y)\bold{i} + Q(x,y)\bold{j}$ 以及 参数(化)曲线 $r(t) = x(t)\bold{i} + y(t)\bold{j} (a\le t\le b)$

有

$$\begin{align} & \bold{r}^{\prime}(t) = \frac{dx}{dt}\bold{i} + \frac{dy}{dt}\bold{j} \\ & \bold {F}(r(t))\cdot \bold{r}^{\prime}(t) = P\frac{dx}{dt} + Q\frac{dy}{dt} \end{align}$$

保守向量场

$$\begin{align} & 如果向量场\bold{F}是标量场 \bold{G} 的梯度，即: \\& \nabla \bold{G} = \bold {F} \\& 那么有 \frac{dG(r(t))}{dt} = \nabla G(r(t))\cdot r^{\prime}(t) = \bold{F}(r(t))\cdot r^{\prime}(t) \\& 于是对路径\bold{c}就有: \\& \int_C\bold{F}(r)\cdot dr = \int_a^b \bold{F}(r(t))\cdot r^{\prime}dt = \int_a^b\frac{dG(r(t))}{dt}dt = G(r(b)) - G(r(a)) \end{align}$$

保守向量场的重要性质

1. 求保守向量场沿着一条曲线的线积分时，只需要取该曲线两端点的位势差，即可得到

2. 若一个向量场在某区域上为保守的，则它在该区域上某条曲线的线积分结果与所用的参数曲线无关，而且仅与曲线的起点和终点有关

3. 一个区域上的保守向量场，若沿着该区域上的一条封闭曲线做积分，则线积分的结果等于0

4. 任何一个保守向量场永远满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ (反之不一定成立)

如果在一个单连通区域$R$上，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则对$R$上的某个函数$f(x,y),\bold{F} = \nabla f$，因而$F$在$R$上为保守的

格林定理

$$\oint_C Pdx + Qdy = \iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} dx dy)$$