基础

极限

单侧极限

$$\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2} = -\infty \\ \lim_{x\to2^{+}}\frac{1}{x-2} = +\infty \\$$

$x\to2^{+}$ 表示让$x$从右边向$2$靠拢

极限存在时，是指左右两边的极限都存在，而且相等

---

$$🌟\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$$

连续性

连续性的三个条件

定义:$f(x)$在$x=a$是连续的，条件有三：
1.$f(a)$是有定义的，即$x=a$落在函数定义域内
2.$\lim_{x\to a}f(x)$存在
3.$\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$

导数

导数的极限定义

定义 函数$g(x)$在$x$处的导数，写成$g^{\prime}(x)$，而且定义为(有多种形式的写法)

$$\begin{align} g^{\prime}(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} &\quad{(形式1)} \\ g^{\prime}(x) &= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} &\quad{(形式2)} \\ g^{\prime}(x) &= \lim_{x\to a}\frac{g(x) - g(a)}{x-a} &\quad{(形式3)} \end{align}$$

例子

$$f(x) = x^2 \\\\ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}(2x+h) = 2x \\ \end{align}$$

有的时候，$\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$不存在，这种情况下，我们说导数$g^{\prime}(x)$没有定义

求导的简单方法

幂法则

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

积法则

$$\frac{d}{dx}(fg) = f^{\prime}g + fg^{\prime}$$

商法则

$$\frac{d}{dx}(\frac{f}{g}) = \frac{f^{\prime}g - fg^{\prime}}{g^2}$$

三角函数的导数

$$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \\ \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$$

$f^{(n)}(x)$ 指的是 $f(x)$的$n$阶导数

链式法则

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

例1:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{3x^5}) = \frac{d}{dx}((3x^5)^{1/2}) = \frac{1}{2}(3x^5)^{-1/2}(15x^4)$$

把$3x^5$看做是整体

例2: $k(x) = (cos(\sqrt{x}-x))^3$，求$k^{\prime}(x)$

解：

令

$$\begin{align} f(x) &= \sqrt{x} - x \\ g(x) &= \cos x \\ h(x) &= x^3 \\\\ k(x) &= h(g(f(x)))\\ k^{\prime}(x) &= (h(g(f(x))))^{\prime} \\ &= h^{\prime}(g(f(x)))(g(f(x)))^{\prime} \\ &= h^{\prime}(g(f(x)))g^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x) \\ &= 3(cos(\sqrt{x}-x))^2(-\sin (\sqrt{x}-x))(\frac{1}{2}(x)^{-\frac{1}{2}}-1) \end{align}$$

极大值极小值

导数等于0或者导数不存在的点，都有可能是局部极大值或局部极小值。所有这些点的$x$值，都称为临界点

如果$x=a$是个临界点，且$f^{\prime}(a) = 0$，则：
1.若 $f^{\prime \prime}(a)>0$，则函数在$x=a$有局部极小值
1.若 $f^{\prime \prime}(a)<0$，则函数在$x=a$有局部极大值

隐微分法

隐函数求导

把y想成是x的函数，最后得到的导数，把它特别写成$\frac{dy}{dx}$

例子: 对隐函数 $y^2 + xy + 3x = 9$ 求导

$y^2$用链式法则处理，$xy$用积法则

$$y^2 + xy + 3x = 9 \\ 2y\frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} +3 =0 \\ \frac{dy}{dx} = \frac{-y-3}{2y+x}$$

找出曲线上点(2,1)的导数，需要把$x$和$y$均代入，得到

$$\left. \frac{dy}{dx} \right| _{(2,1)} = \frac{-1 -3}{2\cdot 1 +2} = -1$$

相关变化率

例题：假设$x$和$y$都会随着$t$变化，而且不管$t$是和值，$x$和$y$都满足一个关系式:$\sin x + \cos y = 1$，求当$x=\frac{\pi}{6}，y=\frac{\pi}{3}$且$\frac{dx}{dt}=2$时的$\frac{dy}{dt}$

把$x$和$y$都当做$t$的函数来处理:

$$\sin x + \cos y = 1 \\ \cos x \frac{dx}{dt} - \sin y \frac{dy}{dt} = 0$$

代入求解 $\frac{dy}{dt} = 2$

介值定理与中值定理

介值定理

如果在$[a,b]$区间上有一个连续的函数$f$，且$p$是介于$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个数值，则在$[a,b]$区间上必须存在一个数$c$，使得$f(c) = p$

罗尔定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$区间上连续而且可微，且若$f(a) = 0,f(b) = 0$，则在区间$[a,b]$内必须存在一点$c$，使得$f^{\prime}(c) = 0$

中值定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$区间上连续可微，则在该区间内必存在一点$c$，使$f^{\prime}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

中值定理就是罗尔定理的结果衍生出来的

积分

不定积分

$$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

所以$x^2$为$f(x)=2x$的一个反导数，以符号表示，可以写成

$$\int 2xdx = x^2$$

$2x$被称为被积函数

$\int 2dx = 2x+C$ ，$C$是常数

$$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \\ \int \frac{1}{x}dx = ln|x| + C$$

试计算$\int \sin^2x \cos x dx$

$$u(x) = \sin x \\ \frac{du}{dx} = \cos x \\ du = \cos xdx \\ \int u^2du = \frac{u^3}{3} + C \\ 把u再替换回\sin x \\ \frac{1}{3}(\sin x)^3 + C$$

定积分

$$\int_0^4 xdx = \left. \frac{x^2}{2} + C \right|_0^4 = (\frac{4^2}{2} + C) - (\frac{0^2}{2} + C ) = 8$$

定积分

微积分基本定理

F(x) 为函数 f(x) 的不定积分

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \\\\$$

下式中，无论$a$为何值都不影响结果

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$$

定积分基本法则

$$\begin{align} &1. \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx \\ &2. \int_a^b cf(x)dx = c\int_a^bf(x)dx \\ &3. \int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx \end{align}$$

例: 计算 $\int_{-2}^1 |x| dx$

$$\int_{-2}^1 |x| dx = \int_{-2}^0 |x|dx + \int_0^1 |x|dx = \frac{5}{2}$$

指数和对数

$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \\ \ln(a^b) = b\ln a \\ \ln(\frac{1}{a}) = -\ln a$$

试证明:$\frac{\ln 3}{\ln 2} = \log_2^3$

$$\begin{align} & x = \frac{\ln 3}{\ln 2}\\ & x\ln 2 = \ln 3 \\ & \ln(2^x) = \ln 3 \\ & e^{\ln(2^x)} = e^{\ln 3} \\ & 2^x = 3 \\ & x = \log_2^3 \end{align}$$

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$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x \\ \int e^xdx = e^x + C \\ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \\ \begin{align} &🌟: \frac{d}{dx}(\ln g(x)) = \frac{g^{\prime}}{g(x)} \\ &🌰: \frac{d}{dx}(\ln (x^3-7)) = \frac{3x^2}{x^3-7} \end{align}\\\\ \begin{align} 🌟:& \frac{d}{dx}(a^x) = a^x\ln a \quad(a为常数) \\\\ 📜:& a = e^{\ln a} \\ & a^{x} = (e^{\ln a})^x = e^{x\ln a} = e^{\ln a^x} \\ & \begin{align} \frac{d}{dx}(a^x) &= \frac{d}{dx}(e^{\ln a^x}) \\ &= e^{\ln a^x} \frac{d}{dx}(x\ln a) \\ &= e^{\ln a^x} \ln a \\ &= a^x \ln a \end{align} \end{align}$$

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对$\log_b^x$微分，即$y = \log_b^x$，求$\frac{dy}{dx}$

变成隐函数 $b^y = x$，对$x$进行微分，把$y$看做是$x$的函数

$$\begin{align} & \because \frac{d}{dx}(a^x) = a^x\ln a \\ & \therefore b^y\ln b\frac{dy}{dx} = 1 \\ & \frac{dy}{dx} = \frac{1}{b^y\ln b} = \frac{1}{x\ln b} \\ & \therefore \frac{d}{dx}(\log_b^x) = \frac{1}{x\ln b} \end{align}$$

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$$🌟 \\ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \\ \int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$$

试求:$\int \tan x dx$

$$\int \tan xdx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx\\ 令 u = \cos x , du = -\sin x dx \\ \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-1}{u}du = -\ln |u| + C \\ = -\ln |\cos x| + C = \ln \frac{1}{|\cos x|} +C = \ln |\sec x| + C$$

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对数微分法

求$f(x) = (x^2 -3)(x^3 - 4 )(x^7 -5 )(x^2-6)$的导数

$$\begin{align} &解:\\ &\begin{align} \ln f(x) &= \ln ((x^2 -3)(x^3 - 4 )(x^7 -5 )(x^2-6)) \\ &= \ln(x^2-3) + \ln(x^3 -4) + \ln(x^7 -5 ) + \ln(x^2 -6) \end{align} \\ &对两端微分 \\ &\begin{align} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{2x}{x^2-3} + \frac{3x^2}{x^3-4} + \frac{7x^6}{x^7-5} + \frac{2x}{x^2-6} \end{align} \\ &\begin{align} f^{\prime}(x) &= f(x)(\frac{2x}{x^2-3} + \frac{3x^2}{x^3-4} + \frac{7x^6}{x^7-5} + \frac{2x}{x^2-6}) \\ &= (x^2 -3)(x^3 - 4 )(x^7 -5 )(x^2-6)(\frac{2x}{x^2-3} + \frac{3x^2}{x^3-4} + \frac{7x^6}{x^7-5} + \frac{2x}{x^2-6}) \end{align} \end{align}$$

积分技巧

分部积分法

$$\int udv = uv - \int vdu$$

例子：求解$\int x\ln x dx$

$$\begin{align} & let:\\ & u = \ln x , dv = xdx \\ & then:\\ & du = \frac{1}{x}dx , v = \frac{x^2}{2} \\ & \int x\ln x dx = \int udv = uv - \int vdu \\ & = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})dx \\ & = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}dx \\ & = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C \end{align}$$

例子:求$\int \ln x dx$

$$\begin{align} & let: \\ & u = \ln x , dv = dx \\ & then: \\ & du = \frac{1}{x}dx, v = x \\\\ & \int \ln x dx = uv - \int vdu \\ &= x\ln x - \int 1dx = x\ln x -x + C \end{align}$$

如何决定哪个应该是$u$，那个应该是$dv$?

1.$dv$必须选择能积分的项
2.选择好以后，对出现的$\int vdu$进行求解，如果比原来的积分更难，可以尝试其他的$u$和$dv$的组合

三角代换

试计算:

$$\int \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}dx$$

假设$x = \sin \theta$ (不会有问题，因为$1-x^2\ge 0$，所以$0 \le x^2 \le 1$)

$$\begin{align} & \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos ^2\theta} = \cos \theta \\ & \frac{dx}{d\theta} = \cos \theta \\ & dx = \cos\theta d\theta \\ & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int \frac{1}{\cos \theta}\cos \theta d\theta = \int 1d\theta = \theta + C \\ & x = \sin\theta \\ & \theta = \arcsin x \\ & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C \end{align}$$

试计算:

$$\int \frac{1}{4+x^2}dx$$

$$let \,{\rm x}= 2\tan\theta \\ \theta = \arctan\frac{x}{2} \int \frac{1}{4+x^2}dx = \int \frac{1}{4(1+\tan\theta^2)}dx \\ = \int \frac{1}{4\sec^2\theta}2\sec^2\theta d\theta = \frac{1}{2}\theta + C = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + C$$

部分分式积分法

求

$$\int \frac{3x-1}{x^2 + x -2}dx$$

$$\int \frac{3x-1}{x^2 + x -2}dx =\int \left( \frac{\frac{2}{3}}{x-1} + \frac{\frac{7}{3}}{x+2} \right) dx \\ = \frac{2}{3} \ln |x-1| + \frac{7}{3}\ln |x+2| + C$$